INTRODUZIONE

DEFINIZIONI

GEOMETRIE EUCLIDEE
Riferimento a “LA RIVOLUZIONE DIMENTICATA”, Lucio Russo, ediz. Feltrinelli, Milano, 2001
- “La matematica ellenistica” (Cap. 2, paragrafo 2.2, pgg. 59 e sgg.)
- “La matematica del discreto e il concetto di infinito” (Cap. 2, paragrafo 2.4, pgg. 66 e sgg.)
- “Le prime definizioni degli elementi di Euclide” (Cap. 10, paragrafo 10.14, pgg. 349 e sgg.)

GEOMETRIE ED ESPERIENZA
Riferimento a “MUTAMENTI NEL PENSIERO MATEMATICO ”, H.Meschkowski, Universale Bollati Boringhieri, Torino, 1973
- “Geometria ed esperienza” (Cap. 8, pgg. 84 e sgg.)
- “Il formalismo” (Cap. 10, pgg. 122 e sgg.)

GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Riferimento a “LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA”, Richard Trudeau, Bollati Boringhieri Editore, Torino, 1991
- “Il problema del V postulato” (Cap. IV)
- “La possibilità di una geometria non euclidea” (Cap. V)

LA STORIA DEL PENSIERO MATEMATICO
Riferimento a “STORIA DEL PENSIERO MATEMATICO”, Morris Kline, Biblioteca Einaudi, 1991 Torino
- “Il grande contributo di Euclide”
- “Le geometrie non euclidee” (Cap. 26, 42, 46, paragrafo 4)

LO SPAZIO E IL TEMPO NELL' UNIVERSO MODERNO
Riferimento a “SPAZIO E TEMPO NELL’UNIVERSO MODERNO”, Paul C.W. Davies, Biblioteca di Cultura Moderna Laterza 1980
- “Le molte facce dello spazio e del tempo” (Cap. 1)
- “La rivoluzione della relatività” (Cap. 2)
- “L’umanità nell’universo” (Cap. 7)

BIBLIOGRAFIA

 


 

 

INTRODUZIONE

Per introdurre il progetto, è molto importante spiegare quali siano gli obiettivi che ci proponiamo di raggiungere, in modo che chi si accosta alla lettura di tale lavoro sia consapevole dei fini che si vogliono ottenere con esso.
Il tema base del progetto è l’analisi dell’evoluzione dell’idea di spazio, anche se il lavoro svolto non si propone di fornire un’argomentazione esauriente al riguardo, vista la complessità e l’importanza del tema, che non può essere approfondito come meriterebbe nell’arco del tempo relativamente breve di cui disponiamo. Fine principale è, invece, quello di dimostrare come la costante riorganizzazione delle opinioni scientifiche permetta alla scienza di evolversi continuamente e di approdare a conoscenze sempre più complesse. E’ fondamentale, infatti, ricordare che non si può parlare di un’idea di spazio, ma di diverse idee, talvolta anche in contrasto tra loro, che si sono sviluppate nei secoli per raggiungere saperi sempre più approfonditi. Inoltre, si intende mostrare l’influenza che le teorie riguardanti lo spazio hanno avuto in ambito socio-culturale e mettere in luce le diversità esistenti tra l’accezione spaziale del senso comune e, invece, la concezione dello spazio nella nozione scientifica.
Proponiamo ora una breve sintesi delle tappe principali che hanno portato alle attuali idee di spazio in ambito scientifico, che verranno analizzate, in seguito, con un maggior approfondimento.

L’uomo ha sempre tentato di attuare una matematizzazione dello spazio per rispondere alle necessità imposte da motivi strettamente pratici, legati alla vita quotidiana, quali ad esempio, il bisogno di misurare e suddividere con precisione le terre fra gli agricoltori per permettere la riscossione delle imposte o quello di ridisegnare i confini dei campi dopo il passaggio della piena del Nilo. Si svilupparono, così, le prime conoscenze di matematica e geometria, sempre legate, però, a scopi pratici.
Fu solamente Euclide nel III secolo a.C. a conferire alla matematica un aspetto di sistema in qualche modo slegato dal contingente e dai problemi pratici, nonostante fossero già state composte altre opere tese ad organizzare le conoscenze matematiche. La geometria euclidea è strettamente legata alla nostra percezione dello spazio ed ad una concezione “piatta” della terra. È stato proprio questo il motivo della sua fortuna e ciò che ne ha impedito la messa in discussione per molti secoli, addirittura fino al XIX secolo, quando diversi matematici, indipendentemente l’uno dall’altro, hanno intuito la possibilità di altre geometrie, perciò dette “non-euclidee”.
La necessità di superare la geometria euclidea è nata dai problemi suscitati dal V postulato di Euclide, il quale afferma, nella sua versione più nota, che per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data.
La questione fondamentale era se il V postulato fosse veramente indipendente dagli altri: in caso contrario sarebbe diventato un teorema e, quindi, i tentativi di dimostrazione sono stati innumerevoli: particolarmente rilevante, per le conseguenze, è quello di Saccheri, che nel XVII secolo tentò la dimostrazione di tale postulato per assurdo. Non riuscì, tuttavia, nel suo intento, arrivando addirittura a vergognarsi per essere andato contro quello che era ritenuto una sorta di dogma. Il suo tentativo, però, è stato molto importante poiché ha posto le basi per la nascita di quelle che verranno definite geometrie non-euclidee.
Le due principali geometrie non-euclidee sono quella iperbolica di Lobacevskij, che è la geometria delle superfici a curvatura negativa, e quella ellittica di Riemann, che è, invece, la geometria delle superfici a curvatura positiva. Lobacevskij, matematico russo, partì dall’idea che lo spazio potesse avere proprietà diverse da quelle che ha attribuito ad esso Euclide e modificò il V postulato negando l’unicità della parallela. Partendo da questo assioma, costruì una geometria in cui la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°. Mentre Lobacevskij aveva negato solamente l’unicità della parallela, Riemann, invece, ne negò proprio l’esistenza sviluppando una geometria non euclidea di altro tipo in cui, ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°. Le geometrie diventano, quindi, diversi sistemi ipotetico-deduttivi: non c’è più un legame di necessità tra il sistema assiomatico e la sua capacità di rappresentazione dello spazio reale.
Poiché sia la geometria euclidea, sia le geometrie non-euclidee sono coerenti, nessuna di esse può essere considerata errata: si può, perciò, scegliere, ad esempio, come afferma Poincarè, quella più conveniente ai propri fini.
Dato che in ambito scientifico lo spazio è strettamente connesso al tempo, all’interno del lavoro vengono presentate anche alcune definizioni e brevi spunti riguardo ad esso, sebbene vada ricordato che il progetto è incentrato soprattutto sull’idea di spazio.

 


DEFINIZIONI

Prima di procedere alla presentazione del lavoro, forniamo le definizioni di spazio e tempo tratte dalle più note enciclopedie per garantire una migliore comprensione dei temi trattati.


Da “Enciclopedia delle scienze fisiche”
Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da G.Treccani
ROMA 1995

- IL TEMPO MATEMATICO (Volume VI - pag. 117)
L’idea di tempo, in ambito matematico, ha molte analogie con una linea retta e fu discussa esplicitamente la prima volta nelle Geometrical lectures di I.Barrow, dell’Università di Cambridge, pubblicate nel 1670. Quest’autore sosteneva che <<il tempo possiede soltanto la lunghezza, è simile in ogni sua parte e può essere considerato come se fosse costituito da una semplice addizione di istanti successivi o da un flusso continuo di un solo istante; o una retta o una linea circolare>>. (…)
Il punto di vista di Barrow ebbe una grande influenza su Newton che nei Principia del 1687 affermerà:<<Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una misura (esatta o inesatta) sensibile ed esterna della durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il mese, l’anno>>.
Newton riteneva che gli istanti del tempo assoluto formassero una sequenza continua, allo stesso modo dei punti di una linea geometrica, e credeva che la velocità con la quale questi istanti si succedevano fosse una variabile indipendente da tutti gli altri eventi.
Questa concezione è stata criticata più volte, nel senso che molti si sono chiesti che significato avesse affermare che il flusso del tempo è uniforme se esso può essere considerato isolato.
Questa obiezione non può essere rivolta a Leibniz, il quale considerò gli istanti di tempo come insiemi di eventi collegati tra loro dal concetto di simultaneità e definì il tempo come l’ordine di successione dei fenomeni. Oggi questa definizione è generalmente accettata.
Comunque, sia Newton sia Leibniz consideravano il tempo lineare ed unico, concetto che ha dominato la fisica fino all’avvento della teoria della relatività di Einstein agli inizi del XX secolo.


- SPAZIO (Volume V – pagg. 428/429/430/431/432/433)

-L’età di Newton
Nei Principia mathemathica Philosophiae naturalis (1687), Newton afferma che il luogo di un corpo è la parte di spazio che esso occupa al momento, non la sua posizione, né la superficie che la liita. Newton distingue tra spazio assoluto che <<per natura è senza alcuna relazione con qualcosa di esterno, rimane sempre simile ed immobile>>, e spazio relativo, che è <<una misura mobile o dimensione del primo, […] definito dalla sua posizione rispetto ai corpi>>. […]
Newton, inoltre, andò oltre rispetto a qualsiasi suo predecessore, nel precisare la particolare ontologia dello spazio: <<Esattamente come le parti della durata sono individuate dal loro orine, così le parti dello spazio sono individuate dalle loro posizioni, di modo che se due qualsiasi di esse potessero scambiarsi di posizione, esse si scambierebbero anche di identità, e sarebbero convertite l’una nell’altra come individui. E’ soltanto attraverso il loro reciproco ordine e le loro reciproche posizioni che le parti della durata e dello spazio vengono intese proprio come quelle che sono davvero; ed esse no hanno altro principio di individuazione all’infuori di quest’ordine e di questa posizione>>. […]
Negli ani ’70 del settecento, Kant cercò di deteologizzare le concezioni Newtoniane esplicite dello spazio canonizzandole al tempo stesso come necessità eterne della ragione umana. Egli, nel 1768, si persuase che i corpi presuppongono lo spazio; egli notò, infatti, che l’incongruenza, per esempio, di una scarpa destra con la corrispondente scarpa sinistra non può essere descritta in termini delle relazioni reciproche tra le parti di ciascuna, ma soltanto riferendole entrambe allo spazio circostante. Lo spazio, dunque, non era attributo dei corpi, ma della mente: la forma del nostro senso esterno. Esso, inoltre, non dipende dalla psiche umana come noi la conosciamo, poiché è piuttosto la seconda che ne richiede la disponibilità a priori.

- La rivoluzione matematica del XIX secolo
Basandosi sull’opera di Newton e Leibniz, i matematici del XIX secolo portarono avanti silenziosamente una rivoluzione nel pensiero, la cui portata non è stata ancora apprezzata pienamente. I tre sottoparagrafi seguenti si riferiscono a quegli aspetti di tale rivoluzione che riguardano direttamente la geometria fisica.
· Geometria non euclidea
Il quinto postulato di Euclide non era mai stato autoevidente per nessuno. Numerosi matematici greci avevano cercato di ricavarlo da affermazioni più ovvie. In epoca moderna Wallis (1616-1703) mostrò che esso è valido se, se e solo se, esistono due figure di dimensioni diverse con uguale forma, e Saccheri (1667-1733) sostenne che l’esistenza di un singolo rettangolo a garantirne la validità. Peraltro, non vi è alcun modo di verificare che un dato quadrilatero sia esattamenet rettangolare. Saccheri analizzò il cosiddetto quadrilatero Saccheri, cioè un quadrilatero con due lati uguali perpendicolari alla base. […]. Da quest’analisi gli rimase solo una possibilità equivalente al quinto postulato (Euclides ab omne naevo vindicatus, 1773).
Nemmeno un secolo più tardi, Lobacevskij fondò il primo sistema di geometria non eulidea, presupponendo l’esistenza di un quadrilatero Saccheri in cui gli altri due angoli oltre a quelli delle perpendicolari alla base sono minori di questi ultimi. Egli definì una retta come il luogo di tutti i punti che rimangono immobili se lo spazio viene rotato intorno a due punti fissi di essa (Geometriche Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien, 1840). Questa definizione è compatibile sia con l’affermazione che con la negazione del quinto postulato. La geometria di Lobacevskij poggia sulla sua negazione. In uno spazio lobacevskijano non vi sono rettangoli e la somma dei tre angoli interni di un triangolo è minore di 180°[…] Un sistema di geometria equivalente a quello di Lobacevskij fu sviluppato indipendentemente da Bolyai. Gauss aveva lavorato molto tempo prima su una simile geometria, ma si era astenuto dalla pubblicazione per paura del <<clamore dei Beoti>> (Gauss a Bessel , 1829, Werke, VIII, 1900).
Lobacevskij mostrò che le formule della sua trigonometria davano luogo a quelle dell’usuale trigonometria sferica se ad ogni segmento di lunghezza x che si incontra nella prima si sostituisce x(-1)1/2 (Zwei geometriche Abhandlungen, ed. ted., 1898-1899). La corrispondenza algebrica tra i due insiemi di formule garantisce che qualsiasi contraddizione sorga nella geometria lobacevskijana, essa ha il suo corrispondente nella geometria euclidea.
Lo spazio fisico è euclideo o lobacevskijano? La questione fu sollevata da Gauss nel 1818 (Gauss, Werke, VIII, 1900) e, successivamente, dallo stesso Lobacevskij, che cercò di risolverla calcolando la somma degli angoli interni di un triangolo formato da tre stelle. Egli concluse che i dati astronomici dell’epoca erano compatibili con il valore p-greco rad. Alcuni filosofi si innervosirono all’idea che la geometria euclidea (fino a quel momento l’epitome della ragione) potesse essere maneggiata in quel modo come un’ipotesi empirica, confermata entro il margine dell’errore sperimentale. Lotze sostenne che se la somma dei tre angoli di un triangolo astronomico fosse stata diversa da p-greco rad ciò non avrebbe dimostrato che lo spazio fisico non è euclideo, ma piuttosto che i raggi della luce non sono linee rette (Metaphysik, 1879). Attirando così l’attenzione sulla sottodeterminazione della teoria geometrica mediante l’esperienza , Lotze contribuì inconsapevolmente ad un ripensamento molto più radicale della geometria- e della ragione stessa – rispetto alle intenzioni di Gauss e Lobacevskij.
· La concezione riemanniana dello spazio fisico
Nel 1854, Riemann, su richiesta di Gauss, tenne una lezione su Le ipotesi che stanno a fondamento della geometria. […] L’interesse dell’autore è concentrato sullo spazio fisico o, piuttosto sulla struttura matematica da esso richiesta. Egli concepisce questa struttura come una specie facente parte del genere alquanto ampio di << quantità estese di n–molteplicità>>; questo genere è più ristretto di quello degli spazi (topologici) n-dimensionali, ed è presumibilmente coestensivo con la classe delle varietà differenziabili n-dimensionali reali. Riemann dava per scontato che lo spazio fisico fosse tridimensionale. Egli riteneva che i fisici fossero nel giusto nell’assegnarli una metrica,la cui natura, tuttavia, era da lui considerata come un problema aperto. […]
Può sembrare che attraverso il suo uso delle coordinate, la fisica assuma che lo spazio sia omeomorfo (topologicamente equivalente) a R3. Riemann vide che una tale ipotesi sarebbe stata inutilmente restrittiva. Il fisico si limita in genere a dare coordinate ad una regione finita circostante gli oggetti studiati; di conseguenza ciò che viene implicitamente presupposto è che ogni punto dello spazio abbia un intorno omeomorfo a R3. tali intorni possono però benissimo formare, nel loro insieme, una struttura globale molto diversa da R3. Per poter utilizzare l’analisi matematica, la fisica richiede che le trasformazioni di coordinate siano esprimibili mediante funzioni differenziabili. […]
I fisici assumono, inoltre, che ogni cammino che unisce due punti nello spazio abbia una lunghezza definita. […] Secondo Riemann, la lunghezza di un cammino in uno spazio fisico dipende dall’interazione delle forze che agiscono sul cammino e intorno ad esso.[…] L ‘interesse di Riemann è quello di sviluppare un concetto più generale di metrica, che consente ad un fisico di formulare, ogni volta che l’esperienze lo renda consigliabile, una definizione più accurata della metrica dello spazio fisico. Tale concetto può essere specificato a diversi livelli di generalità. Poiché la metrica pitagorica si era rivelata fino a quel momento appropriata, Riemann pensò che, per il momento, fosse necessario restare con un tipo di metrica che concordasse fino al primo ordine con quella pitagorica in un intorno di ciascun punto. Questa è attualmente nota come metrica riemanniana. Riemann la concepì come una generalizzazione alle n-varietà della metrica intrinseca delle superfici (cioè le varietà bidimensionali) sviluppata da Gauss.
La concezione riemanniana della geometria è al centro della teoria della gravità di Einstein. Questa teoria impone una metrica pseudoriemanniana su una varietà quadridimensionale che rappresenta, non lo spazio fisico, ma lo spazio-tempo. […]
· Geometrie e gruppi
Il XIX secolo fu testimone di numerose innovazioni nella geometria; al centro dell’attenzione fu la geometria proiettiva generalmente considerata come uno sviluppo piuttosto innocuo della geometria euclidea, benché in realtà essa la contraddica a livello topologico, e costituisca,m quindi, una sfida all’intuizione molto più radicale rispetto alla geometria lobacevskijana. Sebbene la geometria proiettiva si possa far risalire a Kepler (1571-1630) e due dei suoi teoremi fondamentali siano stati dimostrati da Desargues (1591-1661) e Pascal (1623-1662), essa fiorì con Poncelet (1788-1867), sulla scia della ripresa della geometria sintetica a opera di Monge. Nella geometria proiettiva ogni retta ha un <<punto all’infinito>>, dove incontra le proprie parallele. Poiché tale punto può essere avvicinato da entrambe le direzioni, i punti sulla linea proiettiva giacciono in ordine ciclico. Il piano proiettivo contiene una linea retta all’infinito, ha un solo lato e non è orientabile; lo spazio proiettivo ha un piano all’infinito ed è topologicamente compatto. […]
Von Staudt (1798-1867) arricchì lo spazio proiettivo di <<punti immaginari>> indicati con coordinate omogenee a valori complessi e costituì sotto alcune naturali ipotesi topologiche, per la maggior parte implicite lo spazio proiettivo complesso. Questa nuova creazione del pensiero europeo costituisce spesso il punto di riferimento delle posizioni dei matematici della fine del XIX secolo sullo <<spazio>>. In particolare, essa è tacitamente presupposta dalle indagini sui fondamenti della geometria condotte attraverso la teoria dei gruppi da Klein (1849-1925) e Lie (1842-1899).
Nel suo cosiddetto <<programma di Erlangen>> (Verglichende Betrachtungen über neutre geometriche Forschungen, 1872), Klein presentò la teoria algebrica dei gruppi come un mezzo per unificare i variegati sviluppi della geometria. Sia P una spazio proiettivo complesso (tridimensionale) e si considerino tutte le applicazioni biiettive di P in sé; tali applicazioni formano un gruppo, il più generale delle trasformazioni <<dello spazio>> […a seconda delle trasformazioni e delle suddivisioni che si considerano di questo gruppo, si distinguono vari sottogruppi, fino ad arrivare anche a quello dei movimenti euclidei…]
Inoltre, seguendo un’idea di Cayley, Klein definì la distanza tra due punti A e B relativa ad una superficie quadriga S come una funzione del birapporto fra A,B e i due punti in cui la linea AB incontra S. […] Klein mostrò che se S consiste esclusivamente di punti reali, i punti interni di S, collegati tra loro dalla summenzionata funzione di distanza, soddisfano i teoremi della geometria lobacevskijana che Klein definì geometria iperbolica. Se S consiste soltanto di punti immaginari, i punti reali di P, collegati tra loro dalla summenzionata funzione di distanza, si conformano ad una diversa geometria non euclidea, descritta da Klein, che egli definì geometria ellittica. Infine, se S è la conica degenere che consiste nella retta all’infinito presa due volte, i punti reali di P, non sul piano all’infinito, collegati dalla suddetta funzione, soddisfano i teoremi della geometria euclidea, definita da Klein geometria parabolica. In questo senso molto specifico e alquanto macchinoso, si può dunque considerare lo stesso spazio sottostante come una realizzazione della geometria euclidea o di una delle geometrie non euclidee citate in precedenza a seconda della libera scelta di un gruppo di trasformazioni. Questa scoperta suggerì il convenzionalismo geometrico di Poincaré (1854-1912) poiché, come egli notò, l’esistenza di un gruppo non è incompatibile con quella di un altro gruppo ed il fisico matematico si trova a poter scegliere il gruppo che più fa al caso suo. […]

- Cinematica relativistica e spazio-tempo di Minkowski
Negli ultimi tre decenni del XIX secolo i fondamenti della meccanica newtoniana furono sottoposti ad attento esame. Mach (1838-1916) affermò che gli esperimenti mentali di Newton riguardo alla rotazione non dimostravano l’esistenza dello spazio assoluto poichè i loro effetti potevano derivare dalla distribuzione cosmica della materia (Die Mechanick in ihrer Entwicklung 1883). Quest’idea che Einstein definì come principio di Mach svolse un ruolo euristico nello sviluppo della relatività generale. Thomson e Lange non avevano intezione di mettere in dubbio l’idea centrale di Newton della dipendenza dell’accelerazione da forze reali, ma essi si resero conto, correttamente, che l’efficacia di tale idea non richieda affatto l’esistenza di uno spazio assoluto. Nella cinematica newtoniana l’accelerazione assoluta è un’accelerazione rispetto agli spazi relativi determinati nei sistemi di riferimenti inerziali. Nel 1884-1885 Thomson (On the law of inertia, 1804) e Lange (Uber das Beharrungsgesetz,1885) erano giunti indipendentemente ad elaborare definizioni precise di un sistema di riferimento inerziale e della scala temporale inerziale ad esso relativa. [...]
Seguendo un’idea suggerita originariamente Poincarè (La dynamique de l’electron, 1906), Minkowski (1864-1909) interpretò la quantità delta (A,B) come una misura della separazione (intervallo) fra A e B nel continuum cosmico quadrimensionale di eventi che egli definiva come il “mondo”, ma che viene correntemente chiamato Spazio-tempo (Raum und Zeit, 1909) [...]
La riformulazione attuata da Minkowski della cinematica relativistica è stata spesso descritta, in modo alquanto denigratorio, come un “formalismo”. Questo termine è perfettamente accettabile purchè esso non stia a suggerire un paragone sfavorevole con precedenti modi di pensare. Sebbene meno famigliare, lo spazio-tempo di Minkowski non è più formale, nè certamente più artificiale, dello spazio-tempo di Newton. In verità i successi impressionanti della relatività generale nel molto grande e della teoria quantistica dei campi nel molto piccolo hanno confermato la profezia di Minkowski: “D’ora in poi lo spazio in sè ed il tempo in sè saranno ridotti a null’altro che ombre, e soltanto una sorta di unione di entrambi i concetti potrà sussistere indipendentemente.”


BIBLIOGRAFIA: R.Bonola, Non-euclidean geometry. A critical and historical study of its development, Dover, New York, 1955; M.Capek, a cura di, The concepts of space and time. Their structure and their development, Reidel, Dodrecht, 1976; A.Funkestein, Theology and scientific imagination from the Middle ages to the seventeenth century, Princeton Univ. Press, princeton, 1986; E.Grant, Much ado about nothing. Theories of space and the vacuum from thw Middle ages to the scientific revolution, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981; M.Jammer, Concepts of space. The history of the theories of space in physics, Harvard Univ. Press, Cambridge, Mass. , 1954; A.Koyrè, Dal mondo chiuso all’Universo infinitoFeltrinelli, Milano, 1976; H.Stein, Some philosophical prehistory of general relatività, in Minnesota Studies in the Philosopy of Science, vol.8°, Univ. of Minnesota Press, Minneapolis, 1977; R.Torretti, Philosophy of geometry from Riemann to Poincarè, Reidel, Dordrecht, 1978; Relativity and geometry, Pergamon Press Oxford, 1983.

 


Da: Dizionario Enciclopedico Italiano,
G. Treccani Editore,
Roma,1961

- Tempo
Il tempo è un concetto primitivo in base al quale gli eventi sono distinti in presenti, passati e futuri e si coordinano in un organica successione. Come tale la nozione di tempo è legata a quella di movimento, e si precisa una grandezza che, proprio in ragione del carattere primitivo della nozione da cui ha origine, viene assunta come fondamentale in tutti i sistemi di unità di misura.
A un preciso coordinamento temporale degli eventi si può pervenire soltanto dopo aver fissato un sistema di misurazione del tempo: cioè un origine, un verso positivo e un unità di misura.
In particolare, l’unità di misura viene tradizionalmente scelta riferendosi a fenomeni accessibili a tutti e il più possibile invariabili. Ogni sistema di misurazione del tempo trova un’immediata rappresentazione geometrica in un sistema di ascisse su una retta: così ad ogni evento viene a corrispondere un punto nella retta e viceversa.
Non è stato qui nominato l’osservatore dal quale si intendono effettuare le misurazioni del tempo dei singoli eventi, e ove non lo si nomini è implicita l’accettazione delle vedute classiche secondo le quali si postula, con Newton, l’esistenza di un tempo assoluto newtoniano, che “conforme alla sua natura fluisce uniformerete e senza rapporto con alcun oggetto esteriore”. Un tempo terrestre non è un tempo rigorosamente uniforme, ne è possibile pensare a un campione di tempo fornito da un moto uniforme per la impossibilità pratica di attuare tale moto. La critica relativistica ha sostituito alla considerazione del tempo assoluto quella di un tempo relativo all’osservatore. Se due osservatori sono in quiete l’uno rispetto all’altro e si può escludere che delle circostanze particolari influiscano sulle determinazioni dell’uno o dell’altro o sulla propagazione dei segnali che i due osservatori si devono scambiare per accordare i loro orologi, si può ammettere che la durata di uno stesso fenomeno risulti la stessa per ambedue gli osservatori. La medesima coincidenza no si verifica viceversa se i due osservatori sono in moto l’uno rispetto all’altro: si ha la cosiddetta “dilatazione relativistica dei tempi” e la necessità quindi di introdurre la nozione di “tempo relativo a un osservatore”. Peraltro ove il rapporto fra la velocità dell’osservatore e la velocità dei segnali (cioè in genere la velocità della luce) sia molto piccolo rispetto all’unità, la differenza fra le misurazioni effettuate dai due osservatori risulta praticamente trascurabile e si può continuare a riferirsi, come di fatto spesso si può fare, a un tempo assoluto.

- Spazio
Per spazio si intende un insieme di punti che possieda le proprietà dello spazio in cui viviamo, o soltanto alcune di esse. Inizialmente il termine indicava semplicemente lo spazio euclideo a tre dimensioni, ossia quell’insieme di punti in cui esistono rette, piani, ecc, e nel quale valgono le proprietà geometriche elementari. Nell’evoluzione della matematica si è presentata la necessità di attribuire il nome di spazio a ogni insieme di elementi (anche astratti), che, volendo rimanere più vicini all’intuizione, si possono chiamare punti, quando esso presenti alcune proprietà uguali, o analoghe, a quelle dello spazio ordinario; un siffatto spazio è dunque una generalizzazione del concetto intuitivo e, a seconda delle proprietà che in esso si riconoscono o si ammettono come valide, si hanno i diversi tipi di spazio.
Talvolta gli elementi dello spazio sono punti solo in senso astratto, per esempio uno spazio funzionale è l’insieme delle funzioni di un certo tipo, tra le quali si possa dare una nozione di vicinanza, simile alla ordinaria distanza tra due punti.
Il concetto di spazio si può anche generalizzare in altro senso, considerando spazi a più dimensioni, anche infinite; in tal caso la nozione di dimensione dello spazio coincide con il numero di parametri essenziali da cui dipende la determinazione di un punto dello spazio che si considera.
Si attribuisce in genere il nome di iperspazio ad un spazio la cui dimensione è maggiore di 3. la più ampia generalizzazione ha luogo però nella moderna topologia, là dove lo spazio è concepito come un insieme di elementi tra i quali siano definite delle relazioni ( che traducono in vario modo il concetti di distanza, o di intorno, o di punto di accumulazione, ecc, e che costituiscono quella che si chiama la “struttura” dello spazio ); l’insieme di queste relazioni costituisce il sistema di “assiomi” che definisce lo spazio stesso; si parla allora di definizione assiomatica dello spazio.
In uno spazio possono esistere certi sottoinsiemi, che godono delle stesse proprietà dello spazio ambiente, e che si dicono sottospazi, o spazi subordinati in rapporto al dato spazio.
Le relazioni che intercorrono tra gli spazi subordinati dipendono evidentemente dagli assiomi che definiscono lo spazio, e variano da spazio a spazio.


 

Da: Enciclopedia Della Scienza E Della Tecnica
Mondadori 1977

- SPAZIO – TEMPO
Termine impiegato per denotare la geometria dell’universo fisico così come è presentata dalla teoria della relatività: si parla anche di continuo spazio – temporale.
Mentre nella fisica classica (newtoniana) lo spazio e il tempo erano considerati come entità assolute e del tutto indipendenti, A. Einstein mostrò che essi sono in realtà intimamente connessi. La teoria della relatività introduce, infatti, per il passaggio di un sistema di riferimento ad un altro, un sistema di relazioni note col nome di trasformazioni di Lorentz. In base a tali relazioni, sia l’intervallo di tempo sia la distanza spaziale tra due eventi sono quantità relative che dipendono dallo stato di moto dell’osservatore che esegue le misure. C’è comunque una nuova quantità assoluta che prende il posto delle precedenti due: essa è nota come l’intervallo spazio-temporale invariante.
L’esistenza di un unico intervallo invariante condusse H. Minkowski a concepire la totalità dello spazio e del tempo come un unico continuo quadridimensionale, a cui spesso si dà il nome di universo di Minkowski. In quest’universo la storia di un singolo punto spaziale nel corso del tempo deve essere considerata come unica curva (o linea), mentre un evento, localizzato nello spazio e nel tempo, è rappresentato da un punto. Per distinguere questi concetti geometrici dell’universo di Minkowski dai loro analoghi nell’ordinario spazio tridimensionale, ci si riferisce ad essi come a curva cronotopica e a punti cronotopici rispettivamente. Pertanto in questo contesto ci si riferisce spesso al tempo come alla quarta dimensione del cronotopo proprio per sottolineare che il tempo e il suo scorrere non sono categorie assolute e svincolate dallo stato di moto dell’osservatore che le considera, bensì una coordinata del continuo spazio-temporale che non basta da sola ad individuarne gli eventi.
Geometria Di Minkowski
La geometria dell’universo di Minkowski è sotto certi aspetti simile alla geometria dello spazio ordinario (euclideo), ma per certi altri aspetti differisce da questo. L’universo di Minkowski ha quattro dimensioni invece delle tre dimensioni dello spazio ordinario; per una identificazione completa di un punto cronotopico si richiedono cioè quattro dati, ad esempio tre coordinate spaziali ed una lettura del tempo.
Anche nell’universo di Minkowski vi sono punti cronotopici, linee cronotopiche, superfici bidimensionali (inclusi i piani), superfici tridimensionali e domini quadridimensionali.
Spazio-Tempo Curvo
Mentre l’universo di Minkowski è il modello geometrico appropriato per la teoria della relatività ristretta, la teoria della relatività generale fa uso di una ulteriore generalizzazione.
Nell’universo di Minkowski una particella non soggetta a forze esterne e che perciò viaggia lungo una linea retta (nello spazio ordinario) e con velocità uniforme, è rappresentata nel cronotopo da una linea retta.
Nella relatività generale, una forza gravitazionale esterna è indistinguibile da una forza inerziale, cioè del tipo di quella che si manifesterebbe nella teoria della relatività speciale se si impiegasse un sistema di riferimento non-lorentziano: di conseguenza si deve introdurre uno spazio quadridimensionale nel quale sia impossibile distinguere tra un sistema di riferimento lorentziano e uno non-lorentziano ogniqualvolta si sia in presenza di un gravitazionale. Tale spazio non può essere piatto, come quello di Minkowski, ma deve essere curvo e si chiama spazio riemanniano.


 

Da: Il Nuovo Galileo,
Sansoni Editore
Firenze,1978

- Tempo
Il tempo è una delle grandezze fondamentali in tutti i sistemi di unità di misura. Storicamente l’unità di tempo è stata derivata sulla base dell’osservazione di fenomeni periodici legati al moto della Terra.
Fino al 1956 l’unità di tempo nel sistema internazionale, il secondo, era definita come la 86400 parte del giorno solare medio. Come è implicito in questa definizione questa unità astronomica è basata sull’esistenza di una “scala di tempo” che si presuppone uniforme sul passato come sul futuro, dalla quale per suddivisione è possibile disporre di un intervallo, cioè di un’unità di tempo costante.
Tempo Newtoniano
E’ il “parametro” tempo che compare nella meccanica di Newton e che scorre in maniera perfettamente uniforme. Il campione di tempo comunemente usato, il secondo medio, non risponde alla caratteristica di scorrere uniformemente. Ciò è dovuto al fatto che tale campione è misurato sul periodo di rotazione terrestre che non costante per effetto del frenamento della marea e di altri fenomeni periodici. La differenza è abbastanza rilevante poiché ammonta a due minuti per secolo.
Essa è stata osservata calcolando le posizioni dei pianeti e della Luna, in base alle leggi della meccanica celeste e confrontando i risultati con le misure eseguite dagli astronomi dei secoli scorsi.
Le differenze presenti vengono corrette per tutti i pianeti apportando la correzione all’unità di misura usata, il secondo medio. Ciò dimostra che le differenze non sono da attribuire a perturbazioni del moto dei singoli pianeti, ma a variazioni del campione scelto e quindi della rotazione terrestre.


Da: Enciclopedia Einaudi, “Società-Tecnica”,
Giulio Einaudi Editore,
Torino, 1981

- Spazio e tempo
- La teoria più esauriente e soddisfacente dello spazio-tempo è la relatività generale.
- Lo spazio-tempo è una varietà differenziabile di dimensione quattro, connessa, munita di una connessione affine.
- La meccanica quantistica insegna che, nei processi di assorbimento e di emissione della radiazione un atomo si comporta come un oscillatore armonico che vibra con la stessa frequenza della radiazione
- Per il principio di indeterminazione, una localizzazione precisa dell’atomo in un certo istante porta ad una grande precisione nella sua posizione in un istante successivo. Perciò sembra impossibile assegnare operativamente le quattro coordinate spazio-tempo a un evento.
- Atomi dello sesso tipo o particelle elementari della stessa classe sono indistinguibili.
- Il gruppo di Lorentz è un gruppo continuo di trasformazioni che agisce sullo spazio-tempo della relatività speciale .
- Una geodetica è determinata univocamente da un punto iniziale e da una direzione iniziale.
- Per costruire una dinamica occorre distinguere due classi di moti: a) i moti naturali b) i moti che deviano dai moti naturali, spiegati in termini di “forza”.
- Le geodetiche definiscono una connessione curva.
- Una struttura causale consiste nel definire: a) le curve causali che connettono eventi in relazion causale b) il futuro I+ (S) e il passato I-(S) causali di un insieme S di eventi
- Un postulato della meccanica non-relativistica è l’esistenza di un tempo assoluto t.
- Un altro postulato dello spazio-tempo newtoniano è l’esistenza di una metrica spaziale euclidea.
- I moti liberi rispetto ad una particolare classe di riferimenti galileiani hanno un’accelerazione nulla.
- Lo spazio-tempo newtoniano è una varietà curva in contrasto con lo spazio-tempo galileiano.
- La legge di inerzia generalizzata stabilisce l’esistenza di una classe di moti in caduta libera, elevandoli al rango di moti privilegiati per costruire la dinamica.
- Il principio di Mach afferma che la coincidenza del criterio astronomico con quello dinamico non è accidentale, ma deve derivare da leggi fisiche più profonde.
- La struttura dello spazio-tempo galileiano comprende i seguenti elementi: a) una varietà differenziabile V b) un tempo assoluto t: V->R c) una metrica euclidea su ciascuna delle sezioni spaziali t=costante d) una connessione tale che i moti privilegiati sono le geodettiche della connessione.
- Principio di equivalenza forte: in una regione piccola dello spazio-tempo non è possibile distinguere tra un campo gravitazionale e un riferimento accelerato.
- Primo postulato della relatività generale: lo spazio-tempo e una varietà differenziabile munita di una metrica di segnatura (+++-)

 


GEOMETRIE EUCLIDEE


Riferimento a “LA RIVOLUZIONE DIMENTICATA”, Lucio Russo,
ediz. Feltrinelli, Milano, 2001


“La matematica ellenistica” (Cap. 2, paragrafo 2.2, pgg.59 e sgg.)

Nella matematica ellenica erano nati problemi diversi. Innanzi tutto si era visto come certe affermazioni apparentemente ovvie su figure geometriche ne potessero implicare logicamente altre molto meno evidenti.
Era, perciò, chiara l’utilità del metodo dimostrativo, ma non si poteva dimostrare tutto senza rinviare all’infinito la dimostrazione di ogni affermazione.
D’altra parte le aporie, come quelle di Zenone e dei Pitagorici, avevano mostrato come fossero delicati concetti, quali quelli di spazio, tempo e infinto e le relazioni tra quantità discrete e quantità continue e anche come fosse inadeguato il linguaggio ordinario per trattare tali questioni.
In fine si era discusso il rapporto, non chiaro, tra i concetti propri della matematica e il mondo reale.
La soluzione di questi problemi che possiamo vedere per la prima volta negli Elementi di Euclide, fu ottenuta creando la matematica come “ teoria scientifica”, definendo cioè gli enti della teoria (cerchi, rette parallele..) in termini di pochi enti fondamentali (punti, rette…).
Nel primo libro degli Elementi, vi sono cinque affermazioni che debbono essere accettate senza dimostrazione:
1. (E’ possibile) tracciare un segmento da ogni punto ad ogni punto.
2. (E’ possibile) prolungare con continuità un segmento in una retta.
3. (E’ possibile) tracciare una circonferenza con qualsiasi centro e raggio.
4. Tutti gli angoli retti sono eguali tra loro.
5. Se una retta intersecandone altri due forma nello stesso semipiano angoli interni la cui somma è minore di due retti, allora le due rette si incontrano in quel semipiano.
Vanno notate alcune caratteristiche di metodo euclideo e innanzi tutto il ruolo privilegiato svolto, sin dai postulati, dalle rette e dalle circonferenze.
Il motivo di questa scelta è chiaro: il ruolo della retta e della circonferenza è privilegiato perché esse sono i modelli matematici delle linee tracciabili con riga e compasso.
La geometria euclidea nasce esplicitamente come la teoria scientifica dei disegni eseguibili con riga e compasso.
La differenza tra i primi tre postulati, che affermano la costruibilità di rette e circonferenze, e i successivi due, di natura più teorica si riflette nelle proposizioni che compongono il trattato, che sono di due tipi: ” problemi” e “ problemi”.
I primi consistono nella descrizione di una figura geometrica con proprietà assegnate, seguita dalla costruzione della figura e dalla dimostrazione che la figura costruita effettivamente soddisfa le proprietà richieste.
Euclide non usa, infatti, mai una figura geometrica se non dopo averne descritto (e dimostrato) la costruzione.


“La matematica del discreto e il concetto di infinito” (Cap. 2, paragrafo 2.4, pgg. 66 e sgg.)

Negli “Elementi” sono oggetto di studio sia i “numeri interi” sia le “grandezze”, cioè le quantità continue.
Come esempio di teorema riguardante i numeri interi ricordiamo l’enunciato del teorema di Euclide (proposizione 20 del IX libro): “Vi sono più numeri primi che in ogni quantità (finita) assegnata di numeri primi”.

Si legge spesso che nell’antichità non si usava in matematica il concetto di infinito.
Ad esempio, M. Kline ha scritto: < Nella scienza greca il concetto di infinità è poco capito e apertamente evitato. Il concetto di un processo senza fine li atterriva i Greci ed essi si ritraevano dinnanzi “ al silenzio degli spazi infiniti”. Euclide, conoscendo molto bene la delicatezze del concetto di infinito, che era chiara almeno dal tempo di Zenone, riesce ad ottenere una dimostrazione rigorosa senza trattare mai direttamente gli infiniti, ma riducendo il problema lo studio di quantità finite. Il termine “infinito” non è comunque una novità introdotta dai matematici moderni, ma la traduzione letterale del termine greco apeiros che, dopo una lunga e complessa storia, fu infine usato nel significato attuale di “infinto matematico”>.


“Le prime definizioni degli Elementi di Euclide” (Cap. 10, paragrafo 10.14, pgg. 349 e sgg.)

Vari elementi fanno pensare che Euclide condividesse la concezione nominalista del metodo Scientifico Ellenistico (consiste nell’introdurre un nome come etichetta per individuare un’ espressione composta di più termini già noti), che però è apertamente contraddetta dalle prime definizioni del primo libro degli Elementi, che riguardano gli enti geometrici fondamentali: punto, linea retta, superficie e piano.
Definizioni 1 e 4:
“ Punto è ciò che non ha parti”.
“ Linea retta è quella che giace allo stesso modo rispetto a tutti i suoi punti”.
Queste definizioni sono chiaramente di tipo platonico – essenzialista.
Gli “Elementi” ci sono pervenuti con molte interpolazioni. Siamo, infatti, certi che siano di Euclide? Nella ricerca di riscontri oggettivi al sospetto che le prime definizioni degli Elementi siano un’ interpolazione, possiamo usare due tipi di documenti: i ritrovamenti papiracei che forniscono ben poco aiuto e le testimonianze di autori che avevano potuto leggere l’opera di Euclide.
Sesto Empirico scrive prima delle redazioni rimaste dell’opera di Euclide e discute più volte le definizioni degli enti geometrici.
Poiché Sesto Empirico sembra citare più volte alcune definizioni degli enti geometrici fondamentali incluse nel primo libro degli Elementi e in particolare quelle di punto, linea, superficie e linea retta, la sua testimonianza appare a prima vista favorevole alle tesi della loro autenticità.
Esaminiamo in particolare la sua citazione della “definizione” di punto.
Sesto scrive che i matematici, descrivendo gli enti geometrici, dicono che “il punto è un segno senza parti e senza estensione o l’estremità di una linea”. Poiché negli “Elementi” vi sono molte definizioni, ma nessuna “descrizione”, si può pensare che Sesto Empirico non alluda qui ad Euclide, ma a qualcun altro.Quella riferita da Sesto non è altro che l’inizio della prima delle Definizioni di Erone. Erone “descrivendo”, come egli dice, gli enti geometrici, aveva iniziato con la frase “il punto è ciò che non ha parti o un’estremità di una linea”. Sesto Empirico continua con le parole:
“La linea è lunghezza senza larghezza o il limite di una superficie, la superficie il limite di un corpo, o larghezza senza profondità”.
Mentre la definizione di superficie come limite del corpo è in Erone, ma non è inclusa negli “Elementi”, le altre tre frasi citate sono presenti sia negli Elementi sia in Erone.
Tuttavia, possiamo concludere che quando Sesto riporta “descrizioni” di enti geometrici fondamentali, la sua fonte sembra spesso essere non Euclide, ma Erone.
Ma se Erone non trae le definizioni degli enti geometrici fondamentali dagli Elementi, quali sono state, su questo argomento le sue fonti?
Senza dubbio Erone trae spunto da Platone e Aristotele.
In definitiva, le definizioni riportate da Erone sembrano derivare soprattutto da materiale filosofico pre – euclideo.

 


GEOMETRIE ED ESPERIENZA

Riferimento a “MUTAMENTI NEL PENSIERO MATEMATICO”, H.Meschkowski,
Universale Bollati Boringhieri, Torino, 1973.


Geometria ed esperienza (Cap. 8, pgg. 84 sgg)

“Nella critica agli Elementi di Euclide abbiamo visto che una definizione soddisfacente dei concetti geometrici fondamentali (punti, rette) non è possibile. Hilbert, perciò, nei suoi Fondamenti della geometria, la cui prima edizione apparve nel 1899, rinuncia ad ogni “definizione” e comincia così
<<Pensiamo tre sistemi distinti di oggetti: chiamiamo punti gli oggetti del primo sistema ed indichiamo con A, B, C, …. Chiamiamo rette gli oggetti del secondo sistema ed indichiamoli con a, b, c, …. Chiamiamo piani gli oggetti del terzo sistema ed indichiamoli alfa, beta gamma. I punti si chiamano anche gli elementi della geometria lineare; i punti e le rette si chiamano gli elementi della geometria piana; i punti, le rette ed i piani si chiamano gli elementi della geometria spaziale, o dello spazio. >>

Nulla viene detto su cosa mai siano gli “oggetti” di questi sistemi.
Abbiamo piena libertà di immaginare sotto questa denominazione ciò che noi vogliamo – purchè sia in accordo con le asserzioni degli “assiomi” che seguono la dichiarazione di cui sopra. Hilbert ha espressa il suo punto di vista “formalistico” in occasione di una discussione con altri matematici in una sala d’aspetto di una stazione berlinese, nel seguente modo:
<< Si deve poter dire ogni volta in un luogo di ‘punti, rette, piani’: ‘tavoli, sedie, boccali di birra’.>>

Con ciò […] voleva esprimere drasticamente il fatto che il sostrato intuitivo dei concetti geometrici fondamentali è matematicamente indifferente, e che viene presa in considerazione solo la loro connessione mediante gli assiomi.
A proposito del modello di Klein di una geometria non euclidea, […], gli “pseudopunti” e le “pseudorette” di esso soddisfano in effetti tutte le asserzioni del sistema di Hilbert – ad eccezione dell’assioma delle parallele.” […]

I principi fondamentali che Hilbert richiede da un sistema di assiomi sono tre:
1. Indipendenza à non deve essere possibile dimostrare uno degli assiomi a partire dagli altri. Per dimostrare l’indipendenza di un assioma dalle rimanenti proposizioni di un sistema si ricorre alla costruzione di appropriati modelli.
2. Non contraddittorietà à viene ricondotta all’aritmetica: la geometria analitica associa ai punti della geometria piana le coppie di numeri reali. Nella teoria di Hilbert, la possibilità di una tale corrispondenza biunivoca si ricava dagli “assiomi della continuità”.
3. Completezza à se il sistema è sufficiente per la dimostrazione di tutti i teoremi geometrici.

“Le richieste poste da Hilbert ad un sistema di assiomi non sono certamente piccole. Ma per quanto sia grande l’arte con la quale è costruito il sistema delle sue proposizioni, esso mostra, nei confronti di precedenti tentativi assiomatici, una differenza […] sgradevole: i suoi assiomi sono “vuoti”. Ciò vuol dire che essi trattano di “oggetti”, di certi sistemi formali, ai quali non viene attribuita nessuna sorta di “realtà”. […]
Ora, la critica al “formalismo” non può passare sopra ad un fatto: se sul pensiero di Hilbert non riluce più, come su quello di Platone, “lo splendore dell’essere”, […] ciò non è dovuto ad un capriccio nichilistico. La rinuncia ad ogni “lucidatura ontologica” ha ragioni importanti: l’”esistenza” della geometria non euclidea rende impossibile all’uomo moderno di restare fermo alla concezione spaziale di Platone e di Kant.” […]

La matematica moderna conosce la geometria di Bolyai e Lobacevskij e svariate altre “geometrie” che differiscono dalla euclidea. Già Poincaré ha visto la possibilità d’introdurre una geometria diversa da quella euclidea; egli ritiene la scelta una questione di “convenzione”.

“Il ‘convenzionalismo’ di Poincarè ha trovato molti sostenitori. Vi sono, però, anche in epoca più recente, ancora alcuni studiosi che vogliono tener fermo alla posizione speciale della geometria euclidea, e respingono perciò anche il ‘formalismo’ di Hilbert. Vogliamo esaminare da vicino due critiche di questo tipo. Hugo Dingler vuole garantire la ‘validità reale’ della geometria euclidea stabilendo i concetti fondamentali della geometria in maniera ‘meccanica’. […] In questo modo la geometria euclidea si può fondare ‘tecnicamente’ e si può, così facendo, sostituire l’assioma delle parallele con un’asserzione sulla linea di distanza. Ma non si vede perché questa debba essere la geometria della realtà. […]
Anche Georg Hamel vuole tener fermo il punto della posizione speciale della geometria euclidea. Egli ammette che le ‘altre’ geometrie possono essere pensabili e non contraddittorie in sé. […] Ma la geometria euclidea resta tuttavia la geometria ‘dell’intuizione pura’. Spiegare l’essenza di tale intuizione non sarebbe ‘del tutto riuscito’ a Kant. Essa non è un’intuizione sensibile e non è abitudine: è un’idea. Per tale motivo, egli rigetta il formalismo di Hilbert come ‘dissoluzione della geometria’. […]
Quando egli afferma ‘l’unicità eccezionale’ della geometria euclidea, è ben costretto ad ammettere che Kant si è sbagliato, se e in quanto <<voleva imporre con la forza la geometria euclidea alla natura>>. Ciononostante egli non vuole riconoscere alle geometrie non euclidee lo stesso grado do validità della geometria euclidea della ‘intuizione pura’.[…]
Il fatto che la nostra intuizione è euclidea risiede, secondo Reichenbach [studioso che affermava una tesi simile a quella di Hamel], nel fatto che le nostre esperienze nel ‘nostro piccolo mondo’ sono euclidee. La fisica moderna descrive però già adesso i processi nel cosmo nel linguaggio della geometria di Riemann, mentre la geometria euclidea resta in piedi per il caso limite dei dimensioni inferiori. […]
In diverse opere Reichenbach ha cercato di dare una siffatta stringente definitività alle sue deduzioni relative al problema dello spazio. Egli non solo respinge la dottrina ‘dell’intuizione pura’ orientata kantianamente, ma ha anche critiche da muovere al ‘convenzionalismo’ sostenuto da Poincarè, da molti studiosi, anche da Einstein. Egli vuole soltanto formulare la sua concezione in modo tale che anche Einstein ne resti convinto.”

Il merito di Reichenbach è quello di aver attirato l’attenzione, attraverso un esperimento ideale, su un particolare stato di cose: il fatto che si presenti un risultato o un altro, differente od opposto, è una questione che viene decisa dall’esperimento, non è una questione di convenzione.

“Partendo dalle riflessioni qui tratteggiate, Reichenbach perviene ad un rifiuto della concezione dello spazio di Kant. Per lui lo psazio è reale proprio perché la decisione, certamente importante, in merito al fatto che si verifichi un caso A oppure B del nostro esperimento ideale può essere presa soltanto attraverso l’esperienza. Egli dice a proposito dello spazio:
<<Lo spazio non è una forma d’ordine con cui l’osservatore umano costruisca il suo mondo; è un sistema di relazioni strutturali sussistenti fra i corpi trasportati ed i raggi di luce, sistema rappresentante una proprietà generalissima del cosmo e la base di tutte le misurazioni empiriche. Lo spazio non è soggettivo, ma reale… Ciò mostra che non si debbono confondere geometria matematica e geometria fisica. Matematicamente parlando, esistono molti sistemi geometrici tutti immuni da contraddizioni logiche, e questa è l’unica caratteristica che interessi il matematico.>>
Secondo questa concezione dello spazio non ha alcun senso attribuire alla geometria euclidea un’eccellenza unica. Si potrebbe tutt’al più ritenere eccellente quella geometria che consente una descrizione del mondo esterno senza l’ipotesi di ‘forze universali’.”
Il formalismo (Cap. 10, pgg. 122 e sgg.)

“David Hilbert, con i suoi allievi, ha intrapreso il tentativo di porre un nuovo ‘fondamento’ della matematica. Egli riconosce che sono quanto mai giustificate le obiezioni degli intuizionisti, per esempio quella contro un uso illimitato del principio del terzo escluso. Ciononostante non vuole ‘ridurre’ la matematica privandola di questo fondamento[…]. A tal fine il procedimento dimostrativo della matematica viene “formalizzato” con i mezzi della logica matematica. […]
Hilbert si proponeva di giustificare i procedimenti classici della matematica di fronte agli attacchi degli intuizionisti. Tale ‘giustificazione’ deve, ora, avvenire in modo che sia dimostrata la ‘non contradditorietà’ (e possibilmente anche la ‘ completezza’ e la ‘indipendenza’) del sistema formalizzato. […]
Hilbert vuole continua re ad ammettere nei suoi ‘sistemi formali’ il principio del terzo escluso, ma vuole sviluppare la dimostrazione della non contraddittorietà con metodi ‘finiti’, e perciò con metodi che vengono riconosciuti validi anche dagli intuizionisti. […]
Lo stesso Hilbert di ce a questo proposito:
<<L’operare con l’infinito può venire garantito solo ad opera del finito. Il ruolo che rimane all’infinito è semplicemente quello di un’idea – se, seguendo la terminologia kantiana, s’intende per idea un concetto della ragione che va al di là di ogni esperienza e ad opera del quale il concreto viene integrato nel senso della totalità – di un’idea, oltre a ciò, della quale possiamo fidarci senza preoccupazioni nell’ambito segnato dalla teoria qui da me tratteggiata e difesa.>>
Erhard Schmidt vede nello sviluppo del problema dei fondamenti, dall’uso ‘ingenuo’ del tertium non datur fino alla ‘metamatematica’ da Hilbert passando attraverso la critica intuizionistica, <<un bell’esempio del famoso processo di tesi, antitesi e sintesi>>.
Quale posizione prendono, però, gli intuizionisti di fronte a questa sintesi? Brouwer ha rifiutato il programma di Hilbert. […]
Non è il caso, tuttavia, di sopravvalutare l’importanza di controversie siffatte. Esse sono in ogni modo feconde per il lavoro di ricerca relativo a singoli problemi concreti, in quanto oggi esaminiamo le dimostrazioni per vedere quali elementi assiomatici vengono utilizzati. Ci si chiede naturalmente prima d’ogni altra cosa se il tertium non datur è contenuto nel procedimento dimostrativo. […]
Nel saggio intitolato Lineamenti di una filosofia formalistica della matematica, Haskell B. Curry caratterizza la matematica come ‘la scienza dei sistemi formali’. Muove agli intuizionisti il rimprovero che la loro concezione è ‘idealistica’ e contiene ancor sempre ‘elementi metafisici’. […]
Curry non crede al loro ‘Dio, l’Intuizione’, e preferisce fare a meno di questo ‘vago’ concetto. Egli avvalora, invece il fatto che la matematica sia ‘verità dotata di senso’ e non semplicemente ‘gioco’:
<<La matematica è una scienza, non un giuoco. Poiché essa è fatta di affermazioni, non di formule, ma di vere e proprie affermazioni, ‘verità dotate di senso’, la verità delle quali viene determinata per mezzo delle definizioni fondamentali.>>
Seguendo la sua tendenza a rintracciare e eliminare gli ultimi residui di una ‘metafisica’, egli critica anche lo sforzo di Hilbert di dimostrare la non contraddittorietà dei suoi sistemi:
<<Come è ben noto, Hilbert si appoggia sulla non contraddittorietà come criterio di validità. Io congetturo che la ragione stia nel fatto che egli, come tutti gli intuizionisti, cerca una giustificazione a priori… Affermo che una dimostrazione della non contraddittorietà non è né necessaria né sufficiente per la non contraddittorietà…Se infatti dovesse venire scoperta una contraddizione, ciò non significherebbe un completo rifiuto del sistema, ma la necessità di una modificazione e di un miglioramento.>>
Noi non possiamo far nostra questa critica di Curry a Hilbert. In questo caso, la ragionevole tendenza a rintracciare concezioni metafisiche inammissibili ha condotto all’errore. La posizione di Hilbert è quanto mai ‘matematica’: egli non si preoccupa di una ‘verità’ metafisicamente collocata in un qualche luogo, ma della ‘sicurezza’.[…]”

Il fatto che il concetto di numero sia assicurato a priori nella conoscenza “si può però ottenere anche in un altro modo: lo studioso dei fondamenti della matematica A.Mostowski ha dichiarato[…]:
<<L’unico punto di vista conseguente, che è in accordo tanto con il sano intelletto umano quanto anche colla tradizione matematica, è piuttosto l’ipotesi che l’origine e l’ultima ragione d’essere del concetto di numero, tanto naturale quanto reale, risiedono nell’esperienza e nella pratica applicabilità…>>.
Partendo da questa concezione egli parla del ‘carattere idealistico delle idee di Hilbert’ e di quelle dei neopositivisti, ‘che vogliono spiegare il contenuto della matematica attraverso l’analisi del linguaggio’.
Curry aveva detto, rivolgendosi agli intuizionisti, che essi erano idealisti. Qui, il medesimo rimprovero di ‘idealismo’ viene restituito ai ‘formalisti’: si sarebbe, prima di tutto, inclinati a chiedersi perché tra i matematici moderni, l’essere ‘idealista’ implichi una fama tanto cattiva. La ragione è da vedere certamente nel fatto che il matematico – e ciò non ha nessun rapporto diretto con la sua concezione del mondo ‘privata’- è stato costretto dal suo lavoro ad una positività ed a una precisione del pensiero che non sempre si trovano tra ‘idealisti’.
Per il resto, il concetto di ‘idealismo’ ha manifestamente in Curry e Mostowski significati diversi: Curry chiama ‘idealistica’ una concezione della matematica se essa non è scevra da elementi metafisici. Mostowski è convinto che ‘tentativi di fondere la matematica senza tenere conto della sua origine naturalistica siano destinati al naufragio’. Chiama di conseguenza ‘idealistiche’ tutte quelle concezioni che non fondano la matematica ‘sulla realtà del mondo esterno’.
Si è segnato al passivo del ‘formalismo’ il fatto che non sia possibile ‘definire implicitamente’ la successione dei numeri mediante un sistema di assiomi. Ora però è necessaro aggiungere che la possibilità di realizzare un dato sistema di assiomi medianti parecchi modelli del tutto diversi ha anche i suoi lati positivi. La matematica moderna conosce una serie di teorie fondate assiomaticamente che possono venire applicate a questioni di tipo completamente differente, e danno in questo modo lo spunto ad idee del tutto inaspettate relative a campi di ricerca matematica completamente diversi. Come esempi nominiamo:
1. la teoria dei gruppi,
2. la teoria degli spazi di Hilbert di Banach,
3. la teoria dei corpi,
4. la teoria dei reticoli.

Possiamo aggiungere che, tuttavia, il matematico moderno non è lo spirito che ‘nega sempre’. Le teorie moderne, fondate assiomaticamente e abbraccianti diversi domini della matematica, incitano lo studioso a generalizzazioni sempre più ampie, e tuttavia ben fondate, delle conoscenze che già si hanno sotto mano. Questo procedimento di generalizzazione, reso possibile dal formalismo, è stato utilizzato in modo particolarmente grandioso da Bourbaki. Il pensiero rivoluzionario del circolo Bourbaki è il seguente: non si vuole più costruire la matematica a partire dalle discipline classiche, determinate dal punto di vista delle applicazioni, ma a partire da quelle strutture matematiche, determinate dai loro assiomi, che fino ad ora avevano carattere di teorie ‘sovrapposte’. […]
Sono matematici francesi ed americani che prendono parte alla grande opera collettiva Elèments de mathèmatique di Bourbaki. Questa impresa può essere paragonata agli Elementi di Euclide. Anche in quest’ultimo caso si trattava di una specie di lavoro collettivo, che abbracciava tutto il sapere matematico dell’epoca. Anche l’opera di Euclide parte da determinati assiomi ed è contraddistinta dal rigore logico delle sue dimostrazioni. Ora l’opera del Bourbaki si distingue non soltanto da Euclide, ma anche da i metodi fino a quel momento usati dalla matematica classica, per un nuovo livello di astrazione. Le discipline classiche, molto complesso, la struttura assiomatica delle quali non è sempre facile da vedere, vengono risolte nelle loro ‘strutture fondamentali’, lo studio delle quali è posto all’inizio dei nuovi Elementi. […]
Ora, secondo Bourbaki, le strutture algebriche, gli insiemi ordinati e gli spazi topologici sono le ‘strutture fondamentali’ della matematica. Occorre indagare, in primo luogo, le loro leggi. Solo dopo di ciò si riesce a sviluppare l’ulteriore costruzione, per esempio passando alle cosiddette ‘strutture speciali’, che si ottengono aggiungendo agli assiomi di una struttura ancora uni, o alcuni, assiomi speciali.”

 


GEOMETRIE NON EUCLIDEE


Riferimento a “LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA”, Richard Trudeau,
Bollati Boringhieri Editore, Torino, 1991


“Il problema del V postulato” (Cap. IV)

La nascita delle geometrie non euclidee è dovuta ai problemi suscitati dal V postulato di Euclide, il quale afferma che : “per un punto in un piano si può condurre una e una sola retta parallela alla retta data”;
Per una serie di motivi non si poteva includere con sicurezza questo postulato tra gli assunti fondamentali della matematica e si tentò, per tanto, di dimostrarlo.
Il problema assunse una dimensione filosofica per via del possibile fraintendimento del pensiero di Euclide: sembra, infatti, che Euclide non considerasse ovvia la verità dei propri postulati.
Secondo Heath, autore del “The thriteen books of Euclid’s Elements”, Euclide, a proposito dei suoi postulati, ammetteva l’esistenza di cose che non si potevano dimostrare.
Il discente può condividerle o no, ma deve accettarle perché glielo dice il maestro, se ne convincerà in seguito.
Anche se Euclide non disse mai chiaramente queste cose, gli fu, comunque, attribuita l’idea che i postulati fossero da accettarsi sin dall’inizio come ovvi; ma ciò per molti non era possibile pere il V postulato perché era molto complesso.
Il V postulo era matematicamente poco elegante e filosoficamente discutibile. Alcuni storici sono giunti alla conclusione che lo stesso Euclide nutrisse qualche perplessità del V postulato; infatti, nessun teorema, fino al 29, dipende da esso, mentre tutti i teoremi successivi, tranne il 31, ne dipendono: questo vuol dire che Euclide ha cercato di farne a meno il più a lungo possibile. Inoltre, vi sono dei teoremi che Euclide dimostra senza ricorrere al V postulato anche se la dimostrazione sarebbe stata più agevole se ne avesse fatto uso.

Posidonio
Posidonio fu il primo studioso ad avere dubbi sul V postulato e per questo decise di proporre una modifica: “Si dicono parallele quelle rette che giacciono sullo stesso piano e che prolungate nello stesso piano e che prolungate indefinitivamente entrambe le direzioni mantengono la stessa distanza tra loro”.
Questa definizione è più in sintonia con la nostra intuizione di rette parallele.
L’intento di Posidonio era di modificare l’enunciato che chiamare V postulato in modo da spostarlo dalla lista degli assiomi e porlo tra i teoremi.
L’idea di Posidonio si basa su questi due enunciati:
1. Se due rette , per quanto prolungati, sono equidistanti, allora non si incontrano mai.
2. Se due rette, per quanto prolungate, non si incontrano mai, allora sono equidistanti (enunciato chiamato Postulato di Posidonio).
Per quanto riguarda la prima affermazione, non sono sorti problemi, che, invece, sono nati nell’analisi della seconda; infatti, le rette possono essere prolungate indefinitivamente e quindi è impossibile esaminarle in tutta la loro estensione potenziale.

Metageometria
Grazie ad alcune dimostrazioni si può verificare che il V postulato di Euclide sia dimostrabile come teorema nell’ambito della riorganizzazione di Posidonio, detta Metageometria.
Nella geometria vengono prese in considerazione le figure geometriche e s rilevano le proprietà tramite “assiomi” e “teoremi”; nella metageometria, invece, sono oggetti di studio i sistemi geometrici stessi e le conclusioni che si raggiungono sono gli enunciati.

Critica del sistema di Posidonio
L’intento primario di Posidonio era quello di “migliorare” la geometria euclidea, dimostrando che il V postulato era la logica conseguenza degli altri quattro.
Il postulato di Posidonio differisce sostanzialmente da quello di Euclide per una maggiore semplicità di comprensione; ma tale semplicità è solo apparente, in quanto, ad un analisi più approfondita, Euclide sembra essere più evidente. Infatti nel postulato di Posidonio, non è possibile controllare se le due rette prolungate all’infinito mantengano tra oro una distanza costante; potrebbe invece accadere che queste modifichino il loro andamento in un punto a noi inaccessibile.
Si sono sviluppati tre diversi punti di vista riguardo ai postulati di Posidonio e di Euclide: uno “ingenuo”, che ritiene Posidonio più evidente,perché in apparenza più semplice; uno “scientifico”, che preferisce Euclide perché dimostrabile in alcuni casi; un punto di vista “logico”, che afferma l’equivalenza tra i due postulati.

Rassegna dei tentativi posteriori
Dal primo secolo a.C. fino agli inizi del secolo scorso, schiere di pensatori si posero il problema del V postulato e di come dimostrarlo.
Coloro che vi riuscirono fecero ricorso ad ipotesi supplementari e queste furono le varie proposte:
1. sostituire il quinto postulato con un assioma più soddisfacente
2. lasciare immutati gli altri fondamenti di Euclide(cioè i fondamenti della geometria neutrale)
3. dimostrare il quinto postulato.
Spesso il primo passo veniva compiuto inconsapevolmente lasciandosi cullare dall’idea di aver dimostrato il famigerato postulato a partire esclusivamente dai fondamenti neutrali.
Si era però spesso ben consci del fatto che il postulato venisse sostituito ma ciò si pensava fosse più soddisfacente per la comunità matematica.
John Wallis per esempio propose di sostituire il V postulato con il seguente: “ Dato un segmento di retta, è sempre possibile costruire su esso un triangolo simile a un triangolo dato”.
A dire il vero pare che il postulato realizzato dal matematico inglese Wallis fosse ben diverso rispetto a quello euclideo anche se non troppo a quello posidoniano.
Altri matematici non si accontentarono e ciò lo comprendiamo dalla lettera del 17 dicembre 1799 che Gauss scrisse a Bolyai, dove egli racconta di aver compiuto molti progressi nei suoi studi, ma di non essere riuscito a dimostrare il V postulato; anzi,egli afferma di essersene totalmente distaccato, dubitando persino della verità della geometria stessa..

Prossimi alla meta
Nel 1800 i matematici arrivarono molto vicini alla dimostrazione del V postulato senza l’introduzione di ipotesi aggiuntive, basandosi sui numerosi tentativi precedenti: tra questi il più serio era stato fatto da Gerolamo Saccheri (1677-1733).
Al centro del suo pensare, Saccheri pone la geometria neutrale ed è proprio grazie a questa che egli ipotizza un quadrilatero, detto appunto di Saccheri: un quadrilatero di Saccheri è un quadrilatero in cui due lati opposti sono uguali e hanno come perpendicolare comune uno degli altri lati. La perpendicolare comune è detta base, il lato opposto è detto sommità e gli angoli adiacenti alla sommità sono detti angoli alla sommità.


“La possibilità di una geometria non euclidea” (Cap. V)

Nella seconda metà del XVIII secolo, il problema di dedurre il V postulato dalla geometria neutrale si era imposto come indifferibile all’attenzione dei matematici, al punto che D’Alembert lo definì, nel 1759, “le scandale des elements de géométrie”; prima o poi la difficoltà del problema avrebbe indotto qualcuno a concludere che la sua soluzione era impossibile.
Il primo a farlo in uno scritto pubblicato fu G.S. Klügel nella dissertazione nel 1763 intitolata “Rassegna dei principali tentativi di dimostrare la teoria delle parallele”.
Klügel esaminò ventotto tentativi di dimostrazione del V postulato, trovandoli tutti insoddisfacenti e avanzò l’ipotesi che il postulato stesso non fosse dimostrabile, ma fosse avvalorato solo dal giudizio dei nostri sensi. Si trattava di un’affermazione opinabile, perché egli non era in grado di dimostrarla.
Nondimeno la sua idea fu presa sul serio e fu interesse da essa suscitato tra i matematici a rendere alla fine inevitabile la scoperta della geometria non euclidea.
Dal punto di vista logico c’è solo un piccolo passo tra le due tesi seguenti :
1. la geometria neutrale di per se non implica il V postulato;
2. è logicamente possibile una geometria alternativa a quella di Euclide.

La possibilità logica di una geometria non euclidea
Nello studio di ogni sistema assiomatico è implicito il presupposto che i relativi enunciati siano fra loro incompatibili, cioè che non si possibile dedurre da essi una contraddizione logica.
Per esempio, l’impegno alla coerenza è implicito ogni qualvolta compiamo una dimostrazione per assurdo, ma la coerenza non è importante solamente per una singola tecnica di dimostrazione: se gli assiomi non sono compatibili è impossibile dedurre anche un solo teorema significativo, in quanto la presenza di una contraddizione vìola una delle leggi fondamentali della logica e mettono in crisi il funzionamento della logica medesima. Quindi la stessa possibilità logica di un sistema di assiomi richiede che questi siano compatibili .
La logica si occupa solamente di relazioni fra gli enunciati e non il loro contenuto; infatti, il merito di una deduzione è qualcosa di cui la logica non si preoccupa affatto: vediamo che la logica è libera di operare su un qualunque insieme di premesse, trasformandolo in un sistema assiomatico.
I fondamenti della “nuova geometria”, resa possibile dalla indimostrabilità del V postulato, sono costituiti dai fondamenti della geometria neutrale e dalla negazione del V postulato.

I fondatori della geometria non euclidea
Sembra che la geometria non euclidea sia stata scoperta almeno quattro volte in vent’anni.
Scoperte simultanee indipendenti non sono rare nella storia della scienza della matematica, specialmente in periodi in cui molti studiosi si dedicano allo stesso problema.
Il primo ad avere una chiara visione di una geometria coerente, in cui il V postulato fosse sostituito dalla sua negazione, sembra essere stato Gauss, intorno al 1813; egli si dedicò allo studio della nuova geometria ( che sarà proprio lui a chiamare “non euclidea”) , scoprendo un certo numero di teoremi.
Nel 1819 Gauss ricevette una lettera da Schweikart (1780-1859), il quale lo informava di essere giunto in modo indipendente a conclusioni sostanzialmente identiche.
Se Gauss o Schweikart avessero pubblicato i loro lavori oggi li ricorderemmo come i due autentici padri della geometria non euclidea.
Più tardi Gauss ricevette anche da Farkas Bolyai una copia di un trattato sulla geometria non euclidea che suo figlio Jànos era in procinto di pubblicare.
Il quarto fondatore della geometria non euclidea fu Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856), che nel 1830 aveva pubblicato un articolo sull’argomento ”Sui principi della geometria”.
Tuttavia sembra che egli propendesse per una dimostrazione del V postulato ancora nel 1823, quando già il matematico ungherese aveva elaborato l’idea fondamentale della nuova geometria.
I primi articoli di Lobacevskij sulla geometria non euclidea erano scritti in russo e il suo lavoro rimase sconosciuto in Europa centrale e occidentale finché, alcuni anni dopo, egli cominciò pubblicarli in francese e in tedesco.
Nel 1854 uno scritto fondamentale di Gorge F.B. Riemann (1826-1866) rivelava ai matematici che sostituire il V postulato con la sua negazione non era il solo modo per modificare la geometria euclidea e così, in pochi anni, altre geometrie non euclidee coerenti fecero la loro comparsa.
La geometria di Gauss, Schweikart, J. Bolyai e Lobacevskij è solo la prima geometria non euclidea e precisamente quella che oggi viene chiamata “geometria iperbolica”, nome suggerito dal matematico Felix Klein (1849- 1925) nel 1871. In greco iperbole significa “eccesso” e in effetti in tale geometria il numero delle parallele a una retta passanti per un punto assegnato esterno ad essa sopravanza quello previsto dalla geometria euclidea.

Sistemi assiomatici formali
In un sistema assiomatico materiale i termini primitivi non vengono realmente definiti, le spiegazioni date al posto delle definizioni non vengono usate nello sviluppo vero e proprio del sistema e le sole proprietà dei termini primitivi che vengono effettivamente usate sono quelle contenute negli assiomi.
Le spiegazioni dei termini primitivi ci hanno aiutato a visualizzare l’oggetto della geometria, a disegnare figure e a vedere un significato nel sistema euclideo.
Nel secolo scorso la concezione che i matematici avevano della loro disciplina fu sconvolta da una serie di sviluppi inaspettati, dei quali la scoperta delle geometrie non euclidee fu solamente il più spettacolare.
Fu in seguito agli sforzi compiuti per assimilare i significato di tutti questi avvenimenti sconcertanti che essi giunsero ad apprezzare l’importanza fondamentale che ha per la matematica ciò di cui abbiamo appena discusso e cioè che l’esistenza di un sistema assiomatico non dipende dalla spiegazione dei suoi termini primitivi.
Mentre lo schema di un sistema assiomatico materiale prevedeva la spiegazione dei termini primitivi, il nuovo schema si limita a ciò che è strettamente necessario per il funzionamento logico del sistema.
1. Ci devono essere dei termini primitivi, i quali all’interno del sistema sono privi di significato;
2. Ci devono essere degli assiomi e dal momento che si riferiscono ai termini primitivi, anch’essi sono privi di significato e perciò non sono né veri né falsi ; il fatto di accettarli indica che conveniamo di trarne delle deduzioni.


LA STORIA DEL PENSIERO MATEMATICO

Riferimento a “STORIA DEL PENSIERO MATEMATICO”, Morris Kline
Biblioteca Einaudi, 1991 Torino

Il grande contributo di Euclide
L’opera di Euclide, intitolata gli “Elementi”, costituisce una riorganizzazione delle scoperte dei matematici del periodo classico. Egli deve senza dubbio molto del suo materiale ai Platonici con i quali aveva studiato, ma nonostante tutto ciò che può aver tratto da testi anteriori e da altre fonti,è comunque a lui che si deve la straordinaria riorganizzazione delle conoscenza matematiche raggiunte fino a quel momento.
Il testo degli “Elementi” comprende 13 libri; il libro 1° contiene le definizioni dei concetti che Euclide tratterà nella prima parte dell’opera, come quello di linea, di retta, di superficie, di cerchio, di rette parallele. Tra le definizioni troviamo
1. Punto è ciò che non ha parti.
2. Linea è lunghezza senza larghezza
3. Estremi di una linea sono i punti a parti
Tale definizione evidenzia che una linea ha sempre lunghezza finita
4. Estremi di una superficie sono le linee
Analogamente da ciò deriva che una superficie è una figura limitata.
5. Cerchio è una figura piana limitata da un’unica linea tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto fra quelli che giacciono all’interno della figura sono uguali fra loro e il punto viene detto centro del cerchio.
6. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.
Le definizioni iniziali del primo libro esprimono concetti che non vengono definiti e quindi non assolvono alcuna funzione logica. Euclide enuncia poi 5 postulati e 5 nozioni comuni o assiomi, adottando la distinzione già operata da Aristotele: i postulati, applicabili solo alla geometria, non necessitano di essere conosciuti come veri perché la loro verità è confermata dal fatto che i risultati da questi dedotti concordino con la realtà; gli assiomi, invece, sono verità applicabili a tutte le scienze. In realtà, nella successiva storia della matematica, anche le nozioni comuni furono accettate come verità che non potevano essere messe in discussione, almeno fino alla nascita della geometria non euclidea. Nel seguito del primo libro Euclide dimostra attraverso la loro costruzione l’esistenza delle altre entità, ad eccezione del piano.
Il V postulato è originale di Euclide ed è prova del suo genio il fatto che egli lo abbia ritenuto necessario.
“Se una retta, venendo a cadere su 2 rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di 2 angoli retti, le 2 rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i 2 angoli minori di 2 angoli retti.”
Molti greci criticarono questo postulato perché non era chiaramente evidente e mancava quindi della forza di convinzione degli altri. I tentativi per dimostrarlo a partire dagli altri assiomi e postulati, però, fallirono tutti.
Fino al 4° libro sono contenuti noti teoremi come quello sulla congruenza delle rette parallele, la teoria delle figure equivalenti, il teorema di Pitagora. La parte centrale del secondo libro è costituita dai contributi all’algebra geometrica; tutte le quantità sono rappresentate geometricamente pertanto il problema di assegnare loro valori numerici viene in tal modo evitato. I greci infatti non riconoscevano l’esistenza dei numeri irrazionali e non potevano perciò trattare numericamente ogni lunghezza, ogni angolo, ogni volume. Con Euclide i numeri vengono in questo modo rappresentati da segmenti di retta. Prodotto di due numeri è pertanto l’area del rettangolo avente come lati i segmenti la cui lunghezza è uguale ai due numeri; prodotto di tre numeri è un volume; l’addizione di due numeri è ottenuta prolungando la prima retta di un segmento lungo quanto il secondo numero; la divisione tra due numeri viene semplicemente indicata mediante il rapporto tra due rette; e così via.
Il contenuto del V libro è il più discusso ed il più dibattuto e riguarda la teoria delle proporzioni, ossia dell’uguaglianza tra rapporti. Si ritiene che già i pitagorici conoscessero tale teoria, ma solo relativamente a grandezze il cui rapporto poteva essere espresso da numeri interi. Euclide estende tale teoria anche a grandezze incommensurabili, proponendo una nuova teoria generale sulle grandezze. Alcune definizioni che egli fornisce sono le seguenti:
1) “Una grandezza è parte di una grandezza, la minore della maggiore, quando essa misura la maggiore.”Qui “parte” viene usata in senso di sottomultiplo.

2) “Si dice che hanno un rapporto fra loro quelle grandezze capaci, se moltiplicate, di superarsi a vicenda”

Questa definizione non ammette un rapporto fra due grandezze se una di esse è così piccola che nessun suo multiplo superi l’altra.
Il problema assai dibattuto successivamente è se questa teoria fornisse una base logica per una teoria dei numeri reali, e quindi dei numeri irrazionali. I matematici della successive generazioni considerarono la teoria euclidea delle grandezze solo applicabile alla geometria, perciò quando nel Rinascimento e in seguito vengono reintrodotti i numeri irrazionali, molti matematici vi si oppongono, ritenendo che non avessero un fondamento logico. In effetti Euclide non dà mai una definizione di grandezza in quanto tale, né di uguaglianza , né di equivalenza di grandezze.Un prodotto di due grandezze a e b compare solo quando a e b sono lunghezze, considerando cioè ab come un’area. Tale prodotto non può perciò essere un numero perché per Euclide il prodotto non ha alcun significato generale. Non solo, quindi, la sua teoria sulle grandezze e incompleta, ma quanto egli stabilisce per le lunghezze dipende dalla geometria.
Nei libri successivi al V egli si occupa delle figure simili, delle proprietà dei numeri interi e dei rapporti tra di essi. Rappresenta i numeri mediante segmenti ed i prodotti mediante aree, ma gli argomenti usati non dipendono dalla geometria. Inoltre, classifica i tipi di numeri irrazionali e negli ultimi tre libri tratta la geometria solida.
Sebbene l’opera di Euclide sia stata considerata dai matematici un modello di rigore fino al XX secolo, essa presenta alcuni difetti, a partire dalla vaghezza e dall’inutilità di alcune definizioni ed, inoltre, l’uso della sovrapposizione: Euclide per stabilire la congruenza tra figure usa infatti il metodo della sovrapposizione, metodo che si basa sulla nozione comune n. 4 “ Le cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali”. Contro la correttezza di tale metodo si possono avanzare alcune obiezioni: viene usato il concetto di moto e non vi è nessuna base logica per questo concetto; inoltre l’uso della “sovrapposizione” prevede che una figura, spostata da una posizione ad un’altra, conservi tutte le sue proprietà. In effetti asserire che lo spostamento di una figura non ne cambi le proprietà significa fare un’affermazione molto forte sullo spazio fisico. Lo stesso Euclide nutriva dubbi sulla fondatezza di tale metodo; ne è prova il fatto che non lo usi per dimostrazioni per le quali servirsi della “sovrapposizione” sarebbe stato assai più semplice.


Le geometrie non euclidee (Capp. 26, 42, 46, paragrafo 4)
La geometria non euclidea venne fuori dopo secoli di interesse e ricerche sull’assioma delle parallele; l’interesse per tale assioma deriva dal fatto che esso, in quanto tale, avrebbe dovuto essere una verità evidente; essendo gli assiomi della geometria le proprietà fondamentali dello spazio fisico, i matematici volevano essere sicuri di basarsi su delle verità. La geometria non euclidea fu dunque il culmine di una lunga serie di sforzi nel campo della geometria euclidea; i frutti di questo lavoro furono colti all’inizio del XIX secolo, nello stesso periodo in cui si estendeva la geometria proiettiva , obbligando i matematici a rivedere radicalmente le loro idee sulla natura della matematica e i suoi rapporti con il mondo fisico.
Tutti i matematici fino a circa il 1800 erano convinti che la geometria euclidea fosse la giusta idealizzazione delle proprietà dello spazio fisico e delle figure di questo spazio: in effetti molti furono i tentativi per costruire l’aritmetica, l’algebra, l’analisi sulla geometria euclidea, garantendo così verità anche a queste discipline. Molti matematici proclamarono a gran voce la loro incondizionata fiducia in essa, come I. Barrow, che costruì la sua matematica, compreso il calcolo infinitesimale, sulla geometria, proclamando la chiarezza dei concetti, le definizioni non ambigue, la sicurezza intuitiva e verità degli assiomi che rappresentava la geometria euclidea. Egli riteneva che i principi geometrici si applicassero alla natura in quanto derivanti dalla ragione innata e confermati dall’esperienza basata a sua volta su verità innate, confermando quindi la certezza e la perfezione della geometria come scienza.
Quasi tutti i filosofi di fine seicento e del settecento, in particolare Hobbes, Locke e Leibniz, risposero che le leggi matematiche , come la geometria euclidea, erano inerenti al disegno dell’universo. Unica eccezione significativa fu rappresentata da Hume, il quale negò l’esistenza di leggi o di successioni necessarie di eventi dell’universo, sostenendo che proprio dall’osservazione di tali successioni gli uomini fossero indotti a concludere che esse si sarebbero sempre ripetute nello stesso identico modo. Si trattava quindi di una scienza puramente empirica ed in particolare le leggi della geometria euclidea non venivano considerate verità fisiche necessarie. Ma l’influenza di Hume fu controbattuta e soppiantata dalle idee di Kant A sostegno della tesi che la geometria euclidea si può sicuramente applicare al mondo fisico egli riteneva che le nostre menti fornivano una sorta di organizzazione (intuizione) dello spazio e del tempo e che l’esperienza viene organizzata dalle nostre menti in accordo con queste intuizioni. Le nostre menti sono costruite in modo tale da costringerci a vedere il mondo esterno in un unico modo perciò certi principi relaivi allo spazio sono anteriori all’esperienza; questi principi e le loro conseguenze logiche (giudizi sintetici a priori) sono appunto quelli della geometria euclidea.
Sebbene gli assiomi adottati da Euclide siano stati considerati verità evidenti sullo spazio fisico e sulle figure di questo spazio dal 300 a.C. fino a circa il 1800, una preoccupazione tenne occupati i matematici per quasi tutto questo lungo periodo. L’assioma delle parallele come enunciato da Euclide, era considerato un po’ troppo complicato; nessuno ne metteva in dubbio la verità, ma ad esso mancava l’irresistibile evidenza degli altri assiomi. D’altra parte anche lo stesso Euclide non sembrava del tutto soddisfatto, come in precedenza sottolineato, di questa sua versione dell’assioma suddetto, infatti non vi fece ricorso se non dopo aver dimostrato tutti i teoremi che si potevano provare senza di esso. La particolare formulazione da parte di Euclide che due rette si incontreranno dalla parte della trasversale in cui la somma degli angli interni è minore di due angoli retti, era un modo per evitare l’affermazione esplicita che esistono coppie di rette che non si incontrano mai, comunque vengano prolungate. Un problema connesso è quello appunto di stabilire se si possa assumere l’esistenza nello spazio fisico di rette infinite: Euclide era stato attento a postulare solamente che è possibile prolungare una retta (finita) fintanto che è necessario, in modo che anche la retta estesa continuava ad essere finita.
Gli sforzi per eliminare i dubbi intorno all’assioma euclideo delle parallele, costituisce l’inizio della storia della geometria non euclidea, verso la quale furono tentati due diversi tipi di approccio: il primo consistente nel sostituire l’assioma delle parallele con un enunciato più evidente, il secondo nel tentare di dedurlo dagli altri nove assiomi;se ciò fosse stato possibile, esso sarebbe diventato un teorema e tutti i dubbi sarebbero stati eliminati. Uno degli sforzi più significativi in questo senso fu compiuto da Saccheri, un gesuita che fu professore all’università di Pavia; tuttavia, poiché egli non aveva ricavato una contraddizione dall’ipotesi dell’anglo acuto, il problema rimaneva aperto. Nel 1763 Klugel fece la notevole osservazione che la certezza con cui veniva accettata la verità dell’assioma euclideo delle parallele era basata sull’esperienza, tale osservazione introdusse per la prima volta l’idea che gli assiomi fossero convalidati dall’esperienza piuttosto che dall’evidenza. Egli si rendeva conto che Saccheri non era pervenuto ad una contraddizione, ma solo a risultati che sembravano essere in disaccordo con l’esperienza.
Altri sforzi significativi furono compiuti da Klugel e Lambert , ai quali va riconosciuto il merito di aver considerato l’esistenza di geometrie alternative a quella di Euclide. Tuttavia, il fatto significativo riguardante la geometria non euclidea è che essa possa essere usata per descrivere le proprietà dello spazio fisico con altrettanta precisione della geometria euclidea; quest’ultima non è la geometria necessaria dello spazio fisico e la sua verità fisica non può essere garantita su basi aprioristiche. Questa presa di coscienza fu conseguita per la prima volta da Gauss che rivolse alla fisica buona parte dei suoi interessi. Sebbene sia considerato il più grande matematico almeno dopo Newton, Gauss non fu tanto un innovatore bensì una figura di transizione tra il ‘700 e l’800. Egli sviluppò la sua nuova geometria che all’inizio chiamava “geometria antieuclidea”, poi “geometria australe” e infine “geometria non euclidea”. Per Gauss il primo passo verso la creazione della geometria non euclidea era stato il riconoscimento che l’assioma delle parallele non poteva essere dimostrato sulla base degli altri nove assiomi. Esso era un’asserzione indipendente ed era perciò possibile adottare un assioma che lo contraddicesse e sviluppare una geometria interamente nuova. Questo passo notevole era stato compiuto anche da altri, ma Gauss , essendosi reso conto che la geometria euclidea non è necessariamente la geometria dello spazio fisico, ossia non è necessariamente vera, mise la geometria nella stessa classe della meccanica ed affermò che il carattere di verità deve essere attribuito soltanto all’aritmetica. Ciò è curioso, se si pensa che in quel tempo l’aritmetica non possedeva alcuna fondazione logica e la sicurezza che essa fornisse delle verità sul mondo fisico derivava unicamente dall’esperienza. Oltre a Gauss bisogna riconoscere che anche Bolyai e Lobacevskij compirono , nella stessa direzione, notevoli sforzi per la costruzione di una geometria alternativa a quella di Euclide. Essi, come Gauss, pensavano che la loro geometria fosse logicamente coerente e che perciò fosse altrettanto valida , anche se non avevano però alcuna dimostrazione di questa coerenza, pur dimostrando molti teoremi senza imbattersi in evidenti contraddizioni. Così, nonostante l’assenza di una dimostrazione dell’applicabilità della nuova geometria, accettarono ciò che ai loro predecessori era sembrato assurdo. Ma la questione della coerenza della geometria non euclidea rimase aperta per altri quarant’anni.
I dubbi intorno alla geometria dello spazio fisico sollevati dalle ricerche dei predetti portarono ad una delle maggiori creazioni del XIX secolo, la geometria riemanniana, dal suo creatore Riemann, il più profondo filosofo della geometria. La geometria dello spazio da lui presentata non era soltanto un’estensione della geometria differenziale di Gauss, ma riconsiderava l’intero approccio allo studio dello spazio: Riemann affrontò il problema di determinare quali siano i fatti concernenti lo spazio fisico intorno ai quali possiamo essere certi. Uno dei suoi obiettivi era quello di dimostrare che gli assiomi particolari di Euclide erano verità empiriche e non, come si era creduto, verità di per sé evidenti. Secondo Riemann, basandosi sull’analisi, si può partire da ciò che è sicuramente a priori riguardo allo spazio e dedurre le conseguenze necessarie. La sua ricerca di ciò che è a priori lo condusse a studiare il comportamento locale dello spazio in quanto opposto alla considerazione dello spazio come un tutto, quale lo si trova in Euclide o nella geometria non euclidea di Gauss e altri.
Riemann sottolinea anche la differenza fra l’illimitatezza, come nel caso della superficie sferica, e l’infinità dello spazio: l’illimitatezza, dice, ha una maggiore credibilità empirica di ogni altro fatto derivato empiricamente come l’estensione infinita. Le proprietà che distinguono lo spazio fisico dalle altre varietà triplamente infinite possono essere ricavate soltanto dall’esperienza. In particolare, gli assiomi della geometria euclidea potrebbero essere veri soltanto approssimativamente per lo spazio fisico. Egli pensava che sarebbe stata l’astronomia a stabilire qual è la geometria che si adatta allo spazio fisico.
Secondo Riemann le leggi ordinarie della geometria euclidea non sono valide in uno spazio la cui curvatura cambi non soltanto da un luogo all’altro, ma anche , per il moto della materia, da un istante all’altro. Aggiunge che uno studio più accurato delle leggi fisiche non poteva ignorare queste “colline dello spazio”. Così Riemann, a differenza degli altri geometri, riteneva che fosse necessario associare fra loro spazio e materia al fine di determinare una vera natura dello spazio fisico. Questa linea di pensiero conduce, naturalmente, alla teoria della relatività.
L’introduzione e la graduale accettazione di concetti che non sono un’immediata controparte nel mondo reale rese necessario riconoscere che la matematica è una creazione umana e alquanto arbitraria, invece che un’idealizzazione delle realtà naturali derivata unicamente dalla natura. La matematica non rappresenta più un corpo di verità sulla natura. Fu proprio la geometria non euclidea a sollevare la questione della verità . Verso la fine del XIX prevalse l’idea che gli assiomi della matematica sono arbitrari. Poiché gli assiomi non erano più verità sui concetti in essi implicati, il loro significato fisico non aveva più importanza. Questa perdita della verità e l’apparente arbitrarietà, la natura soggettiva delle idee e dei risultati matematici, infastidivano molti uomini che consideravano ciò una denigrazione della matematica; questi matematici condividevano l’idea che la matematica sia una realtà in se, indipendente dalla verità, e che gli oggetti della matematica ci vengano dati analogamente agli oggetti del mondo reale. Nel 1928 al Congresso Internazionale di Bologna, Hilbert, il più importante matematico del XX secolo disse: “che ne sarebbe della verità delle nostre conoscenze, dell’esistenza e del progresso della scienza se non ci fosse verità nella matematica?
La graduale crescita e accettazione che la matematica dovesse abbracciare strutture arbitrarie che non hanno bisogno di alcuna relazione con lo studio della natura, portò ad uno scisma fra ciò che oggi è definita matematica pura e ciò che è detta matematica applicata, generando notevoli controversie. Quando vennero create le geometrie non euclidee, la loro apparente discordanza con la realtà sollevò la questione della loro coerenza. Si rispose a questo problema facendo dipendere la coerenza delle geometrie non euclidee da quella della geometria euclidea. Hilbert riuscì a dimostrare la coerenza della geometria euclidea partendo dall’ipotesi che l’aritmetica sia coerente. Ma la coerenza di quest’ultima non era stata dimostrata e Hilbert considerò il problema come basilare nella fondazione della matematica.


LO SPAZIO E IL TEMPO NELL' UNIVERSO MODERNO

Riferimento a “SPAZIO E TEMPO NELL’UNIVERSO MODERNO”, Paul C.W. Davies, Biblioteca di Cultura Moderna Laterza 1980


Le molte facce dello spazio e del tempo (Cap. 1)

1.Concetti generali
In questo primo paragrafo Davies affronta il problema dei concetti generali di spazio e tempo, sottolineando la diversità tra la concezione di spazio e tempo nel linguaggio comune e nella nozione scientifica.
Nel linguaggio comune lo spazio è inteso come un recipiente. Pg 3: “Nel linguaggio comune lo spazio viene identificato col vuoto, con l’estensione, col volume, viene visto cioè come qualcosa in cui si possono mettere cose.[…]La maggior parte delle persone pensano perciò allo spazio come ad una sorta di recipiente o di estensione enorme in cui sarebbe contenuto l’intero universo…”.
Nella nozione scientifica, invece, lo spazio è inteso come una realtà fisica. Pg 4: “Lo spazio possiede, perciò, come la materia, uno status fisico, proprietà fisiche e una struttura fisica.” Per quanto riguarda il tempo, esso è inteso nel linguaggio comune come un passaggio dal passato al futuro. Pg 5: “ La struttura che percepiamo[…]può essere descritta come una sorta di flusso o scorrimento, un passaggio dal passato al futuro che percorre la nostra esperienza cosciente dal momento presente a quello successivo.” Nella nozione scientifica, invece, il tempo è considerato come una struttura simile a quella dello spazio. Si è poi giunti alla conclusione che spazio e tempo sono due aspetti di una sola struttura: lo spazio-tempo.
2. Modelli matematici
In questo secondo paragrafo, Davies afferma che una teoria dello spazio richiede un modello a cui devono essere imposti diversi livelli di una struttura sempre più complessa per produrre una descrizione dello spazio reale. I caratteri fondamentali presenti in quasi tutte le teorie sono:
- la continuità ( ogni intervallo di spazio può essere suddiviso all’infinito)
- la dimensionalità ( lo spazio reale è tridimensionale)
- connessione ( anche se esistesse, una regione di spazio non connessa alla nostra sarebbe comunque inaccessibile e non conoscibile)
- orientabilità
Per ottenere modelli utili dello spazio è necessario introdurre altre restrizioni poiché lo spazio reale è una varietà ( ammette coordinate continue coerenti tra loro), ha una struttura geometrica ed è uno spazio metrico ( in esso è possibile definire distanze ed angoli).
Il tempo condivide molte fra le proprietà dello spazio come la continuità, la connessione e l’orientabilità, ma è solo unidimensionale. Ha anche una struttura metrica e perciò può essere considerato uno spazio metrico -matematico unidimensionale. Le tre dimensioni dello spazio e l’unica del tempo possono essere considerate come uno spazio-tempo quadridimensionale unificato.
3 Spazio e tempo newtoniani
Davies passa ora a considerare la teoria del moto elaborata da Newton che connette in un insieme di leggi spazio e tempo. Per Newton lo spazio è dotato di un’esistenza indipendente e il tempo è universale.
Pg 17: “ Lo spazio e il tempo newtoniani sono considerati assoluti: ossia un sistema di riferimento fisso, che non viene modificato dai contenuti.” A quest’idea si oppone invece la teoria relazionistica.
Pg 18 : “ Trattando la spazio come una sostanza indipendente, la teoria dio Newton entra in conflitto con la scuola relazionistica, secondo la quale la discussione sullo spazio e sul tempo è semplicemente una convenzione linguistica per descrivere il rapporto esistente fra i corpi materiali”. Nelle sue leggi, Newton affermò che la sensazione di moto sii verifica solo quando il moto non è uniforme, cioè quando è accelerato.
Pg 20 : “ Un moto con velocità uniforme[…] non può essere percepito mentre si percepisce immediatamente un moto accelerato nel quale la velocità muti o in grandezza o in direzione.” Perciò il moto rettilineo è uniforme e non ha caratteristiche degne di nota, mentre il moto accelerato è assoluto e necessita di una causa chiamata forza.
Pg 24 :”Dalle leggi della meccanica newtoniana, il moto rettilineo emerge come una condizione priva di caratteristiche degne di nota. Perciò Newton non fece alcun tentativo di spiegare il moto uniforme, che potrebbe essere considerato uno stato naturale, affermando invece che il moto accelerato richiede sempre una causa e assegnando a queste cause il nome di forza”.


La rivoluzione della relatività (Cap. 2)

Einstein nel 1905 presentò una nuova teoria: la teoria speciale o ristretta della relatività, che si basa sul principio che la velocità della luce è costante ovunque. Per ammettere tale principio è necessario abbandonare l’idea newtoniana di uno spazio e tempo fissi.La teoria di Einstein, però, porta a conseguenze che ci possono apparire strane e spesso difficilmente credibili.
Pg48: “ Taluni eventi che tradizionalmente si ritiene avvengano, in un certo senso, in modo oggettivo, non sono affatto oggettivi, ma sono semplicemente relativi ad un particolare stato di moto. In particolare, la simultaneità di due eventi separati non è una proprietà assoluta posseduta dagli eventi stessi, ma solo una conseguenza del modo in cui i due eventi sono osservati.”
Il tempo newtoniano è, perciò, ormai completamente abbandonato. Pg 48:” Il tempo newtoniano è assoluto e universale. Questa visione del tempo considerato come uno sfondo o un sistema di riferimento fisso relativamente al quale misurare gli eventi ci appare oggi sbagliata. Uno “stesso” attimo universale non esiste.”

L’umanità nell’universo (Cap. 7)

L’influenza dei concetti di spazio e tempo sulla società
Le teorie scientifiche si sviluppano all’interno di un ordine sociale e culturale che comprende componenti etiche, religiose, economiche e politiche. Perciò, le teorie scientifiche sono influenzate dalla società e dalle nozioni preesistenti. Allo stesso modo, però, i progressi scientifici esercitano un’influenza sulla società e a volte le nuove teorie elaborate hanno trovato una forte resistenza. Una critica spesso rivolta alla spiegazione scientifica concerne la sua provvisorietà, ma in realtà questa sua caratteristica è da interpretare positivamente. Pg 250: “ La costante riorganizzazione della opinioni scientifiche no è, però, un segnale di debolezza; questa, al contrario, è la forza della scienza, la quale, come l’umanità, si evolve verso una forma più complessa, nondimeno più potente”.


BIBLIOGRAFIA

- Dizionario Enciclopedico Italiano, G. Treccani Editore, Roma, 1961
- Enciclopedia Enaudi “Società-tecnica”, Giulio Einaudi Ediore, Torino, 1981
- “ The Theorical Significance of Experimental Relativy”, R.M. Dicke, New York, 1964
- “Gravitation and Cosmology”, S. Wenderberg, New York, 1962
-“Gravitation”C.W. Misner, San Francisco, 1973
- “Cosmology and Verificabilityy”, G.F. Ellis, New York, 1975
- Enciclopedia delle Scienze Fisiche, Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da G. Treccani, Roma, 1995
- Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, Mondadori, 1977
- Il Nuovo Galileo, Sansoni Editore, Firenze, 1978
- “La Rivoluzione Dimenticata”, Lucio Russo, Ediz. Feltrinelli, Milano, 2001
- “Mutamenti del pensiero matematico”, M. Meschkowski, Universale Bollati Boringhieri, Torino, 1973
- “La rivoluzione non euclidea”, R. Trudeau, Bollati Boringhieri, Torino, 1991
-“Storia del pensiero matematico”, Morris Kline, Vol. II Dal Settecento a oggi, Biblioteca Einaudi, 1991 Torino.
-“Fondamenti della geometria”, H. Hilbert, Feltrinelli, Milano, 1970
-“Werke”, Riemann, Gotinga, 1892
-“Uber Geschichte und Wesen des Experiments” , Dingler, Monaco, 1952
-“Was ist Geometrie“ Hamel, 1950/1951
-“La nascita della filosofia scientifica”, Reichenbach, Il Mulino, Bologna, 1971
-“Uber gewissheit in der mathematik”, Schmidt, Berlino, 1930
-“Outlines of a formalist philosophy of mathematics”, Curry, Amsterdam, 1951
-“Die hauptreferate des 8. polnischen Mathematkerkongresses 6. bis 12. september 1953 in Warschau”, -Mostwski, Berlino, 1954
- “Elements de mathematique”, Bourbaki, Parigi, 1955
- “Spazio- Tempo nll’universo moderno” , Paul C.W. Davies, Bibloteca di cultura Moderna, Laterza, 1980

 


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